计算极限

Jan 13, 2020

设$a^x_1, a^x_2, \dots, a^x_n$是任意给定的正数,计算极限 $$ l=\lim_{x \to 0}{(\frac{a^x_1+a^x_2+\dots+a^x_n}{n})}^{1/x} $$

当$x \to 0$时$a^x_i \to 1, i = 1,2,\dots,n.$可见这个极限是$1^\infty$型.令 $$ A=\frac{a^x_1+\dots+a^x_n-n}{n}, $$ $$ v=\frac{1}{x} $$ 所以 $$ Av=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} \frac{a^x_i-1}{x} $$ 此外用洛必达法则易知 $$ \lim_{x\to1} \frac{a^x_i-1}{x} = \ln a_i $$ 于是 $$ \lambda = \lim_{x \to 0} Av = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln (a_1 \dots a_n)^{1/n} $$ 最后 $$ l = e^{\lambda} = {(a_1 \dots a_n)}^{1/n} $$

Math

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