Li-Yorke定理与混沌现象

Feb 14, 2020

Li-Yorke定理 设$f:I \to I$连续,若$f$有3-周期点,那么,对于任何$n \in N^*$,$f$有n-周期点

先解释一下什么叫周期点,a为任一正整数,说$f$有a-周期点就是说,存在一点$x_0$,最少经过a次迭代后等于$x_0$,既$\underbrace{f\circ f\circ f \dots f}_{\text{a个}}(x_0)=x_0$.这个定理并不显然,要证明需要先证明下列三个引理,但是用到的知识却不多,主要是介值定理

引理1 设$f:I \to I$连续,并且$J=[a, b] \subset I$.如果$f(J)\supset I$,那么$f$在$J$上有一个不动点 如图,因为$f(J) \supset J$,则必有一点$c$,使得$f(c)=a$;有一点$d$,使得$f(d)=b$

若$c=a$或$d=b$,则$c$或$d$就为不动点.

若都不相等,令$\varphi(x)=f(x)-x$,则有$\varphi(c)=f(c)-c=a-c<0$,$\varphi(d)=f(d)-d=b-d>0$.易知$\varphi(x)$在$I$上连续,对$\varphi(x)$用零点定理可知$\exists x_0 \in [c,d]$,使得$\varphi(x_0) = f(x_0) - x_0 = 0$.$x_0$就为不动点

引理2 设$f:I \to I$连续,$J_1$和$J_2$是$I$的两个闭子区间,并且$f(J_1) \supset J_2$,那么存在子区间$K \subset [a, b]$,使得$f(K)=J_2$

引理3 设$f:I \to I$连续,$J_0, J_1, \dots, J_{n-1}$是$I$的n个闭子区间,满足$f(J_0) \supset J_1, f(J_1) \supset J_2, \dots, f(J_{n-2}) \supset J_{n-1},$且$f(J_{n-1}) \supset J_0$,则

$1^o$ $\exists x_0 \in J_0$,使得$f^n(x_0)=x_0$

$2^o$ $f(x_0) \in J_1, f^2(x_0) \in J_2, \dots, f^{n-1}(x_0) \in J_{n-1}$

Math

计算极限